行列式等号上面如果存在以下符号表示特指

[x][x]：表示第xx列

(x)(x)：表示第xx行

具体型行列式的计算

直接展开

方法总结：

  1. 某行（列）有最多的0元素
  2. 阶数不高（3、4阶）

例题

求出D4D_4的值

\begin{align}D_{4}=\left|\begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right|\end{align}

首先我们按第一列进行展开，首先是第一行第一列消掉，然后提取出22来我们就可以得到下面的试子

\begin{align} 2\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right| \end{align}

其次是第二行第一列和第三行第一列，因为列的位置为0，所以零乘以任何都为零，所以忽略

接下来是第四行第一列都消除了，然后提取出来−1-1，接着利用公式得到−1×(−1)4+1-1 \times(-1)^{4+1}，然后和矩阵结合得到下面的试子

\begin{align}-1 \times(-1)^{4+1}\left|\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{array}\right|\end{align}

最后使其相加等到16−1=1516-1=15

爪型

什么叫做爪型

image-20231122222633232

计算过程: 将除了第一列之外的其他所有列乘以(−bjaj)\left(-\frac{b_{j}}{a_{j}}\right)后加到第一列上，使第一列除了第一行均为零，进而将该行列式变成上三角行列式。

\begin{align}D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc} a_{1} & e_{2} & e_{3} & \cdots & e_{n} \\ b_{2} & a_{2} & 0 & \cdots & 0 \\ b_{3} & 0 & a_{3} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ b_{n} & 0 & 0 & \cdots & a_{n} \end{array}\right|=\prod_{i=2}^{n} a_{i}\left(a_{1}-\sum_{j=2}^{n} \frac{b_{j} e_{j}}{a_{j}}\right)\end{align}

“爪形行列式’’（除了第1列、第1行及主对角线元素，其余元素均为零的行列式），这种行列式都可以化为“基本形”行列式。

方法总结：斜爪消去平爪或者竖爪子得到三角行列式

例题

\begin{align}\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right|\end{align}

根据上面的题目我们首先把中间的值提取出来（其实提不提都可以区别不大）

\begin{align} 2 \times 3 \times 4\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{3} & 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & 1 \end{array}\right| \end{align}

接着用消元的方法是把每一列的-1倍分别加到第一行上去，消去第一列第一行以外的其他元素， 且不会改变其他位置的 0。

\begin{align}24\left|\begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{3} & 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|\end{align}

最终会得到一个三角行列式，所以计算结果为24×(1−12−13−14)=24−12−8−6=−224 \times\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=24-12-8-6=-2

异爪型

方法总结：

  1. 阶数不高的，直接展开
  2. 如果N比较大，使用递推法（难度比较大）

例题

\begin{align}\left|\begin{array}{cccc} \lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda+1 \end{array}\right|\end{align}

按第 4 行展开, 得

\begin{align} & 4(-1)^{4+1}\left|\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \end{array}\right|+3(-1)^{4+2}\left|\begin{array}{ccc} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \end{array}\right|+2(-1)^{4+3}\left|\begin{array}{ccc} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right|+ \\ & (\lambda+1)(-1)^{4+4}\left|\begin{array}{ccc} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{array}\right|=4+3 \lambda+2 \lambda^{2}+\lambda^{3}+\lambda^{4} \end{align}

行（列）和相等

什么叫做行（列）和相等，可以参考下面行列式，每一行或者每一列相加都相等

\begin{align}\left|\begin{array}{ccccc} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \\ \end{array}\right|\end{align}

方法总结：

  1. 如果行和相等，所有列相加，提公因式
  2. 如果列和相等，所有行相加，提公因式

例题

\begin{align}D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{array}\right|\end{align}

将第2,3,⋯ ,n2,3, \cdots, n列加到第1列，则可提出公因子，即

\begin{align}D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{array}\right| \stackrel{[1]+\sum_{i=2}^{n}[i]}{=}[a+(n-1) b]\left|\begin{array}{ccccc} 1 & b & b & \cdots & b \\ 1 & a & b & \cdots & b \\ 1 & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & b & b & \cdots & a \end{array}\right|\end{align}

接着把每一行的-1倍相加，即可得到下面的行列式

\begin{align}[a+(n-1) b]\left|\begin{array}{ccccc} 1 & b & b & \cdots & b \\ 0 & a-b & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a-b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a-b \end{array}\right|\end{align}

然后根据三角行列式得到下面公式

\begin{align}[a+(n-1) b](a-b)^{n-1}\end{align}

如果当aa在副对角线上，需要进行列的置换，把它换成主对角线上

\begin{align}G_{n}&=\left|\begin{array}{ccccc}b & b & \cdots & b & a \\ b & b & \cdots & a & b \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ b & a & \cdots & b & b \\ a & b & \cdots & b & b\end{array}\right| \stackrel{(*)}{=}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\left|\begin{array}{ccccc}a & b & \cdots & b & b \\ b & a & \cdots & b & b \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ b & b & \cdots & a & b \\ b & b & \cdots & b & a\end{array}\right|\\&=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}[a+(n-1) b](a-b)^{n-1}\end{align}

(∗)(*)处是将最后11列和前面相邻列对换，对换n−1n-1次到第11列，再将最新的行列式的最后11列和相邻列对换，对换n−2n-2次到第22列，⋯⋯\cdots \cdots，直到换成DnD_{n}，共交换(n−1)+(n−2)+⋯+1=n(n−1)2(n-1)+(n-2)+\cdots+1= \frac{n(n-1)}{2}次，故得

\begin{align}G_{n}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}[a+(n-1) b](a-b)^{n-1}\end{align}

拉普拉斯展开式

具体可以参考上篇中的这个方法

例题

\begin{align}D_{4}=\left|\begin{array}{cccc} a_{1} & 0 & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2} & b_{2} & 0 \\ 0 & b_{3} & a_{3} & 0 \\ b_{4} & 0 & 0 & a_{4} \end{array}\right|\end{align}

先将第2、4 列互换，再将第2、4 行互换（每换一次行或者列都需要在前面加负号），最后利用拉普拉斯展开式。

\begin{align} D_{4} & =\left|\begin{array}{cccc} a_{1} & 0 & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2} & b_{2} & 0 \\ 0 & b_{3} & a_{3} & 0 \\ b_{4} & 0 & 0 & a_{4} \end{array}\right|=(-1)\left|\begin{array}{cccc} a_{1} & b_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{2} & a_{2} \\ 0 & 0 & a_{3} & b_{3} \\ b_{4} & a_{4} & 0 & 0 \end{array}\right|=(-1) \times(-1)\left|\begin{array}{cccc} a_{1} & b_{1} & 0 & 0 \\ b_{4} & a_{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{3} & b_{3} \\ 0 & 0 & b_{2} & a_{2} \end{array}\right| \\ & =\left|\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ b_{4} & a_{4} \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} a_{3} & b_{3} \\ b_{2} & a_{2} \end{array}\right|=\left(a_{1} a_{4}-b_{1} b_{4}\right)\left(a_{2} a_{3}-b_{2} b_{3}\right) \\ & =a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}+b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}-a_{1} b_{2} b_{3} a_{4}-b_{1} a_{2} a_{3} b_{4} \end{align}

范德蒙德行列式

具体可以参考上篇中的这个方法

例题

\begin{align}\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ b+c & a+c & a+b\end{array}\right|\end{align}

首先用第一行加上第三行

\begin{align} \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ a+b+c & a+b+c & a+b+c \end{array}\right|\end{align}

然后提取公因子

\begin{align}(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|\end{align}

需要把公式换成范德蒙德行列式的格式的花，需要换N-1次，这是第一次换，第三和第二行进行互换，

\begin{align}(a+b+c)(-1)\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array}\right|\end{align}

这是第二次换，第二行和第一行进行互换

\begin{align}(a+b+c)(-1)^{2}\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array}\right|\end{align}

接着套用公式

\begin{align}(a+b+c)(b-a)(c-b)(c-a)\end{align}

递推法

建立DnD_n与Dn−1D_{n-1}的关系式，实现递推

  • 元素分布规律相同
  • Dn−1D_{n-1}只比DnD_n少一阶

例题

\begin{align}D_{4}=\left|\begin{array}{cccc}1-a & a & 0 & 0 \\ -1 & 1-a & a & 0 \\ 0 & -1 & 1-a & a \\ 0 & 0 & -1 & 1-a\end{array}\right|\end{align}

对这类行列式，适宜采用递推法计算。计算的关键是找到上、下阶行列式之间的关系式，即递推公式。先将其余各行加至第4行，化简整理，再按第4行展开

\begin{align} D_{4} & =\left|\begin{array}{cccc} 1-a & a & 0 & 0 \\ -1 & 1-a & a & 0 \\ 0 & -1 & 1-a & a \\ 0 & 0 & -1 & 1-a \end{array}\right|\\ &= \left|\begin{array}{cccc} 1-a & a & 0 & 0 \\ -1 & 1-a & a & 0 \\ 0 & -1 & 1-a & a \\ -a & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|\\& = (-a)\cdot (-1)^{4+1}\cdot \left|\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 1-a & a & 0 \\ -1 & 1-a & a \end{array}\right| +1\cdot (-1)^{4+4}\cdot \left|\begin{array}{ccc} 1-a & a & 0 \\ -1 & 1-a & a \\ 0 & -1 & 1-a \end{array}\right|\\ & =-(-1)^{4+1} a^{4}+D_{3}\\&=a^{4}-(-1)^{3+1} a^{3}+D_{2}\\&=a^{4}-a^{3}-(-1)^{2+1} a^{2}+D_{1} \\ & =a^{4}-a^{3}+a^{2}-a+1 \end{align}

注意上面式子中的D3D_3为∣1−aa0−11−aa0−11−a∣\left|\begin{array}{ccc} 1-a & a & 0 \\ -1 & 1-a & a \\ 0 & -1 & 1-a \end{array}\right|\\，第二步的化简是把所有行加到最后一行得出的，第三步是按最后一行进行展开得出余子式

\begin{align}D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc} 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2 \end{array}\right|_{n \times n}\end{align}

首先进行进行化简，这次把所有的列加到第一列，得到下面的内容

\begin{align}\left|\begin{array}{cccccc} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2 \end{array}\right|\end{align}

接着按照第一列进行余子式展开得到下面内容

\begin{align}1\cdot(-1)^{1+1}\cdot D_{n-1}+1\cdot(-1)^{n+1}\cdot(-1)^{n-1}\end{align}

所有最终会得到Dn=Dn−1+1=Dn−2+1=Dn−3+1=⋯=n+1D_{n}=D_{n-1}+1=D_{n-2}+1=D_{n-3}+1=\cdots=n+1

计算nn阶行列式Dn=∣a1−10⋯00a2x−1⋯00a30x⋯00⋮⋮⋮⋮⋮an−100⋯x−1an00⋯0x∣D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc} a_{1} & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a_{2} & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ a_{3} & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n-1} & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\ a_{n} & 0 & 0 & \cdots & 0 & x \end{array}\right|

这一题如果按第一行和第一列进行降阶的话，那么就不会满足第一条的规则：元素分布规律相同，所以我们可以按第N行和第N列进行降阶，这样我们会发现满足了第一条的规则，接着我们按第N行进行展开

\begin{align} D_{n} & =a_{n}(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{ccccc} -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ x & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 \end{array}\right|_{(n-1) \times(n-1)}+x(-1)^{n+n} D_{n-1} \\ & =a_{n}(-1)^{n+1}(-1)^{n-1}+x D_{n-1}\\&=a_{n}+x D_{n-1} \end{align}

于是按递推关系Dn=an+xDn−1D_{n}=a_{n}+x D_{n-1}，有

\begin{align}D_{n-1}=a_{n-1}+x D_{n-2}, \quad D_{n-2}=a_{n-2}+x D_{n-3}, \cdots, \quad D_{2}=a_{2}+a_{1} x\end{align}

分别用x,x2,⋯ ,xn−2x, x^{2}, \cdots, x^{n-2}乘上述各等式，然后代人DnD_{n}的表达式中，则

\begin{align}D_{n}=a_{n}+a_{n-1} x+a_{n-2} x^{2}+\cdots+a_{1} x^{n-1}\end{align}

行列式表示的函数和方程

行列式是一个算式，特殊时是一个数

例题

设f(x)=∣10x12x213x3∣f(x)=\left|\begin{array}{lll}1&0&x\\1&2&x^{2}\\1&3&x^{3}\end{array}\right|，求f(x+1)−f(x)f(x+1)-f(x)

首先把试子带进去

\begin{align} f(x+1)-f(x) & =\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & x+1 \\ 1 & 2 & (x+1)^{2} \\ 1 & 3 & (x+1)^{3} \end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & x \\ 1 & 2 & x^{2} \\ 1 & 3 & x^{3} \end{array}\right| \\ & =\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & x+1 \\ 1 & 2 & x^{2}+2 x+1 \\ 1 & 3 & x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & x \\ 1 & 2 & x^{2} \\ 1 & 3 & x^{3} \end{array}\right| \end{align}

接下使用行列式的加法的特性，(x+1)−x(x+1)-x，(x2+2x+1)−x2(x^{2}+2x+1)-x^{2}，(x3+3x2+3x+1)−x3(x^{3}+3x^{2}+3x+1)-x^{3}最终得到下面的内容

\begin{align}\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 2 x+1 \\ 1 & 3 & 3 x^{2}+3 x+1 \end{array}\right|\end{align}

接着再使用函数的倍加性质，把第一列的−1-1倍加到第三列中，接着把第二列的−x-x倍加到第三列中，即可得到下面的主对角行列式

\begin{align}\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 3 x^{2} \end{array}\right|=6 x^{2}\end{align}

设f(x)=∣x−2x−1x−2x−32x−22x−12x−22x−33x−33x−24x−53x−54x4x−35x−74x−3∣f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\ 3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3\end{array}\right|，则方程f(x)=0f(x)=0的根的个数为多少

需要利用倍加性质来进行运算，第二列第三列第四列分别减去第一列的1倍，接着用第四列加上第二列可以得到一个拉普拉斯展开式

\begin{align} &\left|\begin{array}{cccc}x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\ 3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3\end{array}\right| \\& \underline{\underline{\begin{array}{l}{[2]-[1]} \\{[3]-[1]}\\{[4]-[1]}\end{array}}}\left|\begin{array}{cccc} x-2 & 1 & 0 & -1 \\ 2 x-2 & 1 & 0 & -1 \\ 3 x-3 & 1 & x-2 & -2 \\ 4 x & -3 & x-7 & -3 \end{array}\right| \\&\underline{\underline{[4]+[2]}}\left|\begin{array}{cccc} x-2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 x-2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 x-3 & 1 & x-2 & -1 \\ 4 x & -3 & x-7 & -6 \end{array}\right| \\ & =\left|\begin{array}{cc} x-2 & 1 \\ 2 x-2 & 1 \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} x-2 & -1 \\ x-7 & -6 \end{array}\right|=5 x(x-1) \end{align}

由此可知f(x)f(x)是二次多项式，所以根为两个

设关于λ\lambda的方程∣λ−1−231λ−43−1aλ−5∣=0\left|\begin{array}{ccc} \lambda-1 & -2 & 3 \\ 1 & \lambda-4 & 3 \\ -1 & a & \lambda-5 \end{array}\right|=0有二重根，求参数aa的值

\begin{align} \left|\begin{array}{ccc} \lambda-1 & -2 & 3 \\ 1 & \lambda-4 & 3 \\ -1 & a & \lambda-5 \end{array}\right| & \underline{\underline{(1)-(2)}}\left|\begin{array}{ccc} \lambda-2 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & \lambda-4 & 3 \\ -1 & a & \lambda-5 \end{array}\right| \\ & \underline{\underline{[2]+[1]}}\left|\begin{array}{ccc} \lambda-2 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda-3 & 3 \\ -1 & a-1 & \lambda-5 \end{array}\right| \\ & =(\lambda-2)[(\lambda-3)(\lambda-5)-3(a-1)] \\ & =(\lambda-2)\left(\lambda^{2}-8 \lambda+18-3 a\right)=0 \end{align}

若λ=2\lambda=2是二重根，则(λ2−8λ+18−3a)∣λ=2=4−16+18−3a=0\left.\left(\lambda^{2}-8 \lambda+18-3 a\right)\right|_{\lambda=2}=4-16+18-3 a=0得a=2a=2，经验证λ=2\lambda=2是二重根

若λ=2\lambda=2不是二重根, 则λ2−8λ+18−3a=0\lambda^{2}-8 \lambda+18-3 a=0有两个相等的根，故Δ=(−8)2−4(18−3a)=0\Delta=(-8)^{2}-4(18-3 a)=0，得a=23a=\frac{2}{3}。此时，λ=4\lambda=4是二重根。

综上所述a=2a=2或a=23a=\frac{2}{3}

抽象行列式的计算

例题

已知4阶行列式∣α1,α2,α3,β∣=a,∣β+γ,α2,α3,α1∣=b\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}\right|=a,\left|\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}\right|=b则∣α2+α3,α1,α3,γ∣\left|\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\gamma}\right|，求得结果是什么？

这是一个抽象的带字母的行列式计算题，要通过列变换将要求的行列式简化分离，最终表示为两个已知行列式的运算形式

因为∣α2+α3,α1,α3,γ∣‾‾[1]−[3]∣α2,α1,α3,γ∣=[1]↔[2]−∣α1,α2,α3,γ∣\left|\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\gamma}\right| \stackrel{[1]-[3]}{\underline{\underline{}}}\left|\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\gamma}\right| \stackrel{[1] \leftrightarrow[2]}{=}-\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\gamma}\right|

又因为∣β+γ,α2,α3,α1∣=−∣α1,α2,α3,β+γ∣=−∣α1,α2,α3,β∣−∣α1,α2,α3,γ∣\left|\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}\right|=-\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma}\right|=-\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}\right|-\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\gamma}\right|，故∣α2+α3,α1,α3,γ∣=a+b\left|\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\gamma}\right|=a+b

设α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}均为33维列向量，已知A=[α1,α2,α3],B=[α1−α2+2α3,2α1+3α2−5α3,α1+2α2−α3]\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}-5 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}\right]且∣A∣=2|\boldsymbol{A}|=2，则∣B−A∣|\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}|等于多少

\begin{align} |\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}| & =\left|-\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}-5 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right| \\ &\stackrel{(*)}{=}\left|\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & -2 \end{array}\right]\right| \\ & =\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right|\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & -2 \end{array}\right| \end{align}

其中∣α1,α2,α3∣=∣A∣=2\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right|=|\boldsymbol{A}|=2，因为

\begin{align}\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & -2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=5\end{align}

故∣B−A∣=10|\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}|=10

【注】能够熟练地将线性组合表示成矩阵乘积的形式

0α1−α2+2α3=[α1,α2,α3][0−12],2α1+2α2−5α3=[α1,α2,α3][22−5],α1+2α2−2α3=[α1,α2,α3][12−2],\begin{array}{c} 0 \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]\left[\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right], \quad 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}-5 \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]\left[\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right], \\ \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right], \end{array}

再合并成矩阵乘积的行列式(∗)(*)式是解决此类问题的关键

余子式和代数余子式的线性组合的计算

例题

设A∣=∣2−12301−1023451111∣\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc}2 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|，则A31+A32+A33+M34A_{31}+A_{32}+A_{33}+M_{34}的值

本题即计算A31+A32+A33−A34A_{31}+A_{32}+A_{33}-A_{34}，结果是将组合系数置换行列式中第33行元素后的行列式的值

\begin{align} & A_{31}+A_{32}+A_{33}+M_{34}=A_{31}+A_{32}+A_{33}-A_{34} \\ = & \left|\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right| \stackrel{\begin{array}{l}{ (1)-2(3) }\\{ (4)-(3) }\end{array}}{=}\left|\begin{array}{cccc} 0 & -3 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right|=6 \end{align}