二次型的定义及其矩阵表达式
n元变量x1,x2,⋯,xn的二次齐次多项式
\begin{align}\begin{array}{r}
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{11} x_{1}^{2}+2 a_{12} x_{1} x_{2}+\cdots+2 a_{1 n} x_{1} x_{n} \\
+a_{22} x_{2}^{2}+\cdots+2 a_{2 n} x_{2} x_{n} \\
+\cdots \\
+a_{n n} x_{n}^{2}
\end{array}\end{align}
称为n元二次型，简称二次型。考研只研究系数aij∈R(i⩽j;i,j=1,2,⋯,n)的情况，故称此二次型f为实二次型.
例题
写出三元二次型f(x1,x2,x3)=2x12+2x22+2x32−2x1x2−2x2x3+2x1x3的二次型矩阵A
将二次型表示成矩阵形式是基本要求，方法：A的主对角线元素aii是平方项xi2的系数，aij是混合项xixj的系数的21，或利用矩阵乘法
f(x1,x2,x3)=2x12+2x22+2x32−2x1x2−2x2x3+2x1x3=2x12−x1x2+x1x3−x2x1+2x22−x2x3+x3x1−x3x2+2x32=x1(2x1−x2+x3)+x2(−x1+2x2−x3)+x3(x1−x2+2x3)=[x1,x2,x3]⎣⎢⎡2x1−x2+x3−x1+2x2−x3x1−x2+2x3⎦⎥⎤=[x1,x2,x3]⎣⎢⎡2−11−12−11−12⎦⎥⎤⎣⎢⎡x1x2x3⎦⎥⎤
得
\begin{align}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 2
\end{array}\right]\end{align}
系数矩阵A的秩称为二次型f(x)的秩。比如注例中，A=⎣⎢⎡2−11−12−11−12⎦⎥⎤，其秩r(A)=3，故其对应的二次型的秩也是3
PS：主要的解法就是，写一个这个，然后填中间那个矩阵的值，[x1,x2,x3]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎣⎢⎡x1x2x3⎦⎥⎤
二次型的合同标准形、规范形
若二次型中只含有平方项，没有交叉项 （即所有交叉项的系数全为零），即形如下列二次型称为标准形
\begin{align}d_{1} x_{1}^{2}+d_{2} x_{2}^{2}+\cdots+d_{n} x_{n}^{2}\end{align}
若标准形中，系数di(i=1,2,⋯,n)仅为1,−1,0，即形如x12+⋯+xp2−xp+12−⋯−xp+q2的二次型称为规范形
若二次型f(x)=xTAx合同于标准形d1x12+d2x22+⋯+dnxn2（或合同于规范形 x12+⋯+xp2−xp+12−⋯−xp+q2），则称d1x12+d2x22+⋯+dnxn2为f(x)的合同标准形（则称x12+⋯+xp2−xp+12−⋯−xp+q2为f(x)的合同规范形）
任何二次型均可通过配方法（作可逆线性变换）化成标准形及规范形，用矩阵语言表述：任何实对称矩阵A，必存在可逆矩阵C，使得CTAC=Λ，其中
例题
惯性定理
无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准形或规范形，其正项个数p，负项个数q都是不变的，p称为正惯性指数，q称为负惯性指数
- 若二次型的秩为r，则r=p+q，可逆线性变换不改变正、负惯性指数
- 两个二次型（或实对称矩阵）合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数，或有相同的秩及正（或负）惯性指数
例题
正定二次型及其判别
定义
n元二次型f(x1,x2,⋯,xn)=xTAx。若对任意的x=[x1,x2,⋯,xn]T=0，均有xTAx>0，则称f为正定二次型，称二次型的对应矩阵A为正定矩阵
二次型正定的充要条件
\begin{align}n元二次型f=&\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}正定\Leftrightarrow对任意\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0} , 有 \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0 (定义)
\\&\Leftrightarrow f 的正惯性指数 p=n
\\&\Leftrightarrow 存在可逆矩阵 \boldsymbol{D} , 使 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D}
\\&\Leftrightarrow \boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{E}
\\&\Leftrightarrow \boldsymbol{A} 的特征值 \lambda_{i}>0(i=1,2, \cdots, n)
\\&\Leftrightarrow \boldsymbol{A} 的全部顺序主子式均大于 0\end{align}
主子式
设A=(aij)n×n，则
\begin{align}\left|\boldsymbol{A}_{k}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 k} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 k} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{k 1} & a_{k 2} & \cdots & a_{k k}
\end{array}\right|\end{align}
称为n阶矩阵A的k阶顺序（或左上角）主子式。当k取1,2,⋯,n时，就得到A的n个顺序主子式
例题