2

函数的四要数

函数代表了集合X\boldsymbol{X}中的元素和Y\boldsymbol{Y}中的元素的一种对应关系：

1

这种对应关系中，有四个重要概念，或者称为函数的四要素：

  • 定义域：集合X\boldsymbol{X}
  • 映射法则ff：指明中X\boldsymbol{X}的元素怎么和中元Y\boldsymbol{Y}素关联
  • 值域：通过映射法ff和定义域X\boldsymbol{X}决定，表示X\boldsymbol{X}映射到Y\boldsymbol{Y}中的值
  • 到达域：集合Y\boldsymbol{Y}

四要素包含了函数ff的所有细节，所以，函数ff又可以写作：

\begin{align}f:X\to Y\end{align}

值域因为可以由f(x),x∈Xf(x),x\in X来决定，所以上面的代数式没有表示值域。

韦恩图

可以用韦恩图来表示函数的四要素：

2

自然定义域

使函数有意义的一切元素组成的集合称为自然定义域

比如，对于函数f(x)=x2f(x)=x^2，它在整个实数范围内都有定义，也就是说它的定义域是实数域R\mathbb{R}：

2

并且规定，如果函数不指明定义域，那么就默认为自然定义域。比如下面函数的定义域都指的是自然定义域：

\begin{align}y=\sin x,\quad y=\frac{1}{x},\quad A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\end{align}

单射、满射以及双射

单射

映射法则是单的，简称单射，当且仅当每一个至多yy有一个xx与之对应：

单射

非单射

满射

映射法则是满的，简称满射，当且仅当每一个yy至少有一个与xx之对应。此时值域与到达域相等：

满射

非满射

双射

若映射既不是单射，又不是满射，则称为非单射非满射；若映射既是单射，又是满射，则称为双射，或称为一一映射：

非单射非满射

双射

值域

值域由定义域和映射法则共同决定，比如对于f(x)=x2f(x)=x^2：

  • 当定义域为R\mathbb{R}的时候，其值域为[0,+∞][0,+\infty]
  • 当定义域为[−2,2][-2,2]的时候，其值域为[0,4][0,4]

上述第二种情况的图像如下：

2

到达域

定义到达域的原因如下：

​ （1）值域不好求。比如下面这个函数的值域就很不好求：

\begin{align}f(x)=\frac{x^3}{1+e^x}\end{align}

但容易知道，值域一定在R\mathbb{R}内。此时，可以说该函数的到达域为R\mathbb{R}，这样就通过到达域给出了值域的大致范围。

​ （2）值域没法求。比如对于下面两个抽象函数：

\begin{align}f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\end{align}

很显然函数f+gf+g的值域是没有办法求出的，但可以知道到达域为R\mathbb{R}，那么该函数可以表示为：

\begin{align}f+g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\end{align}

矩阵函数的四要素

矩阵函数分为列向量矩阵函数和行向量矩阵函数，两者的函数四要素有细微的区别。

列向量矩阵函数

对于m×nm\times n的矩阵AA，根据矩阵乘法合法性，可得列向量矩阵函数：

\begin{align}\begin{array}{c} \underbrace{A}_{m\times n}\quad\underbrace{\boldsymbol{x_{}}}_{n\times 1}\quad = \quad\underbrace{\boldsymbol{y_{}}}_{m\times 1}\\ \Updownarrow \\ \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\quad&\quad&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_m\end{pmatrix} \end{array}\end{align}

它的四要素为：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c} \hline \quad自然定义域\quad&\quad 映射法则 \quad&\quad 值域 \quad&\quad 到达域 \quad\\\hline\\ \quad \mathbb{R}^n \quad&\quad A \quad&\quad A\boldsymbol{x} \quad&\quad \mathbb{R}^m \quad\\ \\ \hline \end{array}\end{align}

因此，该矩阵函数所代表的线性函数可以写作：

\begin{align}\mathcal{L}:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R^m}\end{align}

对应的韦恩图如下：

3

行向量矩阵函数

对于m×nm\times n的矩阵AA，根据矩阵乘法合法性，可得行向量矩阵函数：

\begin{align}\begin{array}{c}\underbrace{\boldsymbol{x}^\mathrm{T}}_{1\times m}\quad\underbrace{A}_{m\times n}\quad=\quad\underbrace{\boldsymbol{y}^\mathrm{T}}_{1\times n}\\\Updownarrow\\\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\quad&\quad&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_1&y_2&\cdots&y_n\end{pmatrix}\end{array}\end{align}

它的四要素为：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c} \hline \quad自然定义域\quad&\quad 映射法则 \quad&\quad 值域 \quad&\quad 到达域 \quad\\\hline\\ \quad \mathbb{R}^m \quad&\quad A \quad&\quad \boldsymbol{x}^\mathrm{T}A \quad&\quad \mathbb{R}^n \quad\\ \\ \hline \end{array}\end{align}

因此，该矩阵函数所代表的线性函数可以写作：

\begin{align}\mathcal{L}:\mathbb{R^m}\to \mathbb{R^n}\end{align}

此时的韦恩图如下：

3

单射

定义域维度=值域维度时，单射

当“定义域维度=值域维度”的时候，可以直观地想象，因为相等，此时值域中的向量和定义域中的向量一样多，所以矩阵函数是单射。而“定义域维度>值域维度”时，此时值域中的向量比定义域中的向量少，所以矩阵函数非单射：

定义域维度=值域维度，单射

定义域维度 > 值域维度，非单射

这是可以证明的：

当定义域为向量空间时，有：

\begin{align}矩阵函数是单射\ \iff\ 定义域的维度=值域的维度\end{align}

以及：

\begin{align}矩阵函数非单射\ \iff\ 定义域的维度 > 值域的维度\end{align}

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下面对列向量矩阵函数Ax=yA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}进行证明，结论同样适用于行向量矩阵函数行向量矩阵函数xTA=yT\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}。这里的证明要接着上一节的证明，也就是矩阵函数的定义域 ≥ 值域的证明来看。

​ （1）先证明，“单射  ⟹  \implies定义域维度与值域维度相同”。用反证法，假设单射时，定义域维度与值域维度不同。已知定义域由基{a1,a2⋯ ,an}\{\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\cdots,\boldsymbol{a}_n\}张成，所以定义域的维度为nn，而值域由{Aa1,Aa2⋯ ,Aan}\{A\boldsymbol{a}_1,A\boldsymbol{a}_2\cdots,A\boldsymbol{a}_n\}张成，因为定义域维度与值域维度不同，所以该向量组必定线性相关（否则维度也为nn），不妨假设Aa1A\boldsymbol{a}_1可以被其它向量线性表示：

\begin{align}A\boldsymbol{a}_1=k_2A\boldsymbol{a}_2+k_3A\boldsymbol{a}_3+\cdots+k_nA\boldsymbol{a}_n,\quad k_{2,3,\cdots,n}\in\mathbb{R}\end{align}

移项之后可得：

\begin{align}A(\boldsymbol{a}_1-k_2\boldsymbol{a}_2-\cdots-k_n\boldsymbol{a}_n)=\boldsymbol{0}\end{align}

因为A(0)=0A(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}，且AA为单射，所以必然有：

\begin{align}\boldsymbol{a}_1-k_2\boldsymbol{a}_2-\cdots-k_n\boldsymbol{a}_n=\boldsymbol{0}\end{align}

上式说明向量组{a1,a2⋯ ,an}\{\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\cdots,\boldsymbol{a}_n\}线性相关，与该向量组是基的条件相矛盾，所以，“假设单射时，定义域维度与值域维度不同”是错误的。

​ （2）再证明，“定义域维度与值域维度相同  ⟹  \implies单射”。首先假设在定义域中的两个向量：

\begin{align}\boldsymbol{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n),\quad\boldsymbol{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)\end{align}

那么有：

\begin{align}\begin{aligned} A\boldsymbol{u}-A\boldsymbol{v} &=A(u_1\boldsymbol{a}_1+u_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+u_n\boldsymbol{a}_n)-A(v_1\boldsymbol{a}_1+v_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+v_n\boldsymbol{a}_n)\\ \\ &=(u_1-v_1)A(\boldsymbol{a}_1)+(u_2-v_2)A(\boldsymbol{a}_2)+\cdots+(u_n-v_n)A(\boldsymbol{a}_n) \end{aligned}\end{align}

因为定义域维度与值域维度相同，因此向量组{Aa1,Aa2⋯ ,Aan}\{A\boldsymbol{a}_1,A\boldsymbol{a}_2\cdots,A\boldsymbol{a}_n\}线性无关，根据线性无关的定义可得：

\begin{align}\begin{aligned}A\boldsymbol{u}-A\boldsymbol{v}=0&\implies (u_1-v_1)A(\boldsymbol{a}_1)+(u_2-v_2)A(\boldsymbol{a}_2)+\cdots+(u_n-v_n)A(\boldsymbol{a}_n)=0\\ \\&\overset{线性无关}{\implies} u_1-v_1=0,u_2-v_2=0,\cdots,u_n-v_n=0&&\\ \\ &\implies \boldsymbol{u}=\boldsymbol{v} \end{aligned}\end{align}

所以，AA是单射。

​ （3）因为矩阵函数的定义域维度 ≥ 值域维度，所以除了“定义域维度=值域维度”，剩下的情况就是“定义域维度 > 值域维度”。因为已经证明了单射的充要条件：

\begin{align}矩阵函数是单射\ \iff\ 定义域的维度=值域的维度\end{align}

所以“定义域维度 > 值域维度”自然就是非单射。

根据上述定理可知，相对于定义域的维度，单射时值域维度会保持不变，非单射时值域会降维：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c} \hline \quad\quad&\quad 定义域的维度 \quad&\quad 值域的维度 \quad \quad\\\hline\\ \quad 单射 \quad&\quad \begin{aligned}二维空间\\三维空间\end{aligned} \quad&\quad \begin{aligned}二维空间\\三维空间\end{aligned}\quad\\ \\ \hline \\ \quad 非单射 \quad&\quad \begin{aligned}二维空间\\三维空间\end{aligned} \quad&\quad \begin{aligned}一维或零维空间\quad\ \\二维、一维或零维空间\end{aligned}\quad\\ \\ \hline \end{array}\end{align}

满秩与单射

在自然定义域下时，有：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c} \hline \quad矩阵函数\quad&\quad 单射的充要条件 \quad\\\hline\\ \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} \quad&\quad 列满秩 \iff 单射 \quad\\ \quad \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{y}^\mathrm{T} \quad&\quad 行满秩 \iff 单射\quad\\ \\ \hline \end{array}\end{align}

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​ （1）先证明列向量矩阵函数Ax=yA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}的情况。假设A\boldsymbol{A}为m×nm\times n的矩阵，那么在自然定义域下，列向量矩阵函数Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}的四要素为：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c} \hline \quad 自然定义域\quad&\quad 映射法则 \quad&\quad 值域 \quad&\quad 到达域 \quad\\\hline\\ \quad \mathbb{R}^n \quad&\quad \boldsymbol{A} \quad&\quad colsp(\boldsymbol{A}) \quad&\quad \mathbb{R}^m \quad\\ \\ \hline \end{array}\end{align}

用韦恩图来表示就是：

3

之前证明了，定义域维度=值域维度时，矩阵函数是单射。所以当值域colsp(A)colsp(\boldsymbol{A})扩大到和定义域Rn\mathbb{R}^n一样大时，列向量矩阵函数Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}就是单射：

3

所以单射时有rank(colsp(A))=nrank\Big(colsp(\boldsymbol{A})\Big)=n，又有A\boldsymbol{A}为m×nm\times n的矩阵，因此：

\begin{align}rank\left(colsp(\boldsymbol{A})\right)=n\iff \boldsymbol{A}\ \text{是列满秩}\iff \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\ \text{是单射}\end{align}

​ （2）行向量矩阵函数xTA=yT\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}的证明与上面类似，就不再赘述。

比如说A=(−12021−2)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&2\\1&-2\end{pmatrix}是列满秩的，此时Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}的自然定义域为R2\mathbb{R}^2，值域为R3\mathbb{R}^3中的平面，两者的维度一样大，因此Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}是单射：

3

而对于非列满秩的A=(1111)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}，此时Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}的自然定义域为R2\mathbb{R}^2，值域为R2\mathbb{R}^2中的直线，两者的维度不同，因此Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}是非单射：

3

非单射

当矩阵函数为单射时，值域中的任意向量有且只有一个定义域中的向量与之对应。而非单射时，值域中的每一个向量都有无数个定义域中的向量与之对应：

单射

非单射
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​ （1）根据单射定义可知，当矩阵函数为单射时，值域中的任意向量有且只有一个定义域中的向量与之对应。

​ （2）矩阵函数AA为非单射时，下面以列向量矩阵函数为例进行证明。此时必定存在值域中的向量对应多个定义域中的向量，不妨假设值域中的向量a\boldsymbol{a}与定义域中两个不相等的c1\boldsymbol{c_1}、c2\boldsymbol{c_2}相对应，即有：

\begin{align}A\boldsymbol{c_1}=A\boldsymbol{c_2}=\boldsymbol{a},\quad \boldsymbol{c_1}\ne\boldsymbol{c_2}\end{align}

因为矩阵函数是线性函数，所以可推出：

\begin{align}A\boldsymbol{c_1}-A\boldsymbol{c_2}=A(\boldsymbol{c_1}-\boldsymbol{c_2})=\boldsymbol{0},\quad \boldsymbol{c_1}-\boldsymbol{c_2}\ne\boldsymbol{0}\end{align}

再假设值域中另外一个向量b\boldsymbol{b}与定义域中的c3\boldsymbol{c_3}，即Ac3=bA\boldsymbol{c_3}=\boldsymbol{b}，那么可以推出：

\begin{align}\begin{aligned} A\Big(\boldsymbol{c_3}-k(\boldsymbol{c_1}-\boldsymbol{c_2})\Big) &=A\boldsymbol{c_3}-kA(\boldsymbol{c_1}-\boldsymbol{c_2})\\ &=A\boldsymbol{c_3}-\boldsymbol{0}=\boldsymbol{b},\quad k\in\mathbb{R} \end{aligned}\end{align}

也就是说c3−k(c1−c2)\boldsymbol{c_3}-k(\boldsymbol{c_1}-\boldsymbol{c_2})也和b\boldsymbol{b}相对应，所以得证。

矩阵函数非单射的几何意义是，值域和定义域相比，在维度上缩小了。比如输入为矩形，输出为线段，此时就是非单射：

3

矩阵函数的定义域维度 ≥ 值域维度

对于矩阵函数而言，当定义域为向量空间时，其值域也为向量空间，且：

\begin{align}定义域的维度\ ≥\ 值域的维度\end{align}

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下面对列向量矩阵函数Ax=yA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}进行证明，结论同样适用于行向量矩阵函数xTA=yT\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}：

​ （1）先证明，“当定义域为向量空间时，其值域也为向量空间”。假设定义域XX为向量空间，由基{a1,a2⋯ ,an}\{\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\cdots,\boldsymbol{a}_n\}张成，那么定义域中的任意向量x\boldsymbol{x}可以表示为：

\begin{align}\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{a}_1+x_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{a}_n,\quad x_{1,2,\cdots,n}\in\mathbb{R}\end{align}

因为矩阵函数Ax=yA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}是线性函数，所以有：

\begin{align}\begin{aligned} \boldsymbol{y} &=A(x_1\boldsymbol{a}_1+x_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{a}_n)\\ \\ &=x_1A(\boldsymbol{a}_1)+x_2A(\boldsymbol{a}_2)+\cdots+x_nA(\boldsymbol{a}_n),\quad x_{1,2,\cdots,n}\in\mathbb{R} \end{aligned}\end{align}

所以，值域为向量组{Aa1,Aa2⋯ ,Aan}\{A\boldsymbol{a}_1,A\boldsymbol{a}_2\cdots,A\boldsymbol{a}_n\}的张成空间，也为向量空间。

​ （2）再证明，“定义域的维度 ≥ 值域的维度”。已知定义域是基{a1,a2⋯ ,an}\{\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\cdots,\boldsymbol{a}_n\}的张成空间，所以定义域的维度为nn。上面又证明了值域是向量组{Aa1,Aa2⋯ ,Aan}\{A\boldsymbol{a}_1,A\boldsymbol{a}_2\cdots,A\boldsymbol{a}_n\}的张成空间。所以，当该向量组线性无关时，值域的维度为nn；当该向量组线性相关时，值域的维度小于nn。就是说始终有：

\begin{align}定义域的维度\ ≥\ 值域的维度\end{align}

上面定义也就是说，对于某矩阵函数AA，如果定义域为R2\mathbb{R}^2，那么值域只能为2维、1维或者0维：

3

或者通过韦恩图来表示（右图的值域画的显然更小一些，用于表示“定义域 > 值域”）：

定义域维度=值域维度

定义域维度 > 值域维度

满射

在自然定义域下时，有：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c} \hline \quad矩阵函数\quad&\quad 满射的充要条件 \quad\\\hline\\ \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} \quad&\quad 行满秩 \iff 满射 \quad\\ \quad \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{y}^\mathrm{T} \quad&\quad 列满秩 \iff 满射\quad\\ \\ \hline \end{array}\end{align}

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​ （1）先证明列向量矩阵函数Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}的情况。假设A\boldsymbol{A}为m×nm\times n的矩阵，那么列向量矩阵函数Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}在自然定义域下的四要素为：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c} \hline \quad 自然定义域\quad&\quad 映射法则 \quad&\quad 值域 \quad&\quad 到达域 \quad\\\hline\\ \quad \mathbb{R}^n \quad&\quad \boldsymbol{A} \quad&\quad colsp(\boldsymbol{A}) \quad&\quad \mathbb{R}^m \quad\\ \\ \hline \end{array}\end{align}

用韦恩图来表示就是：

3

根据满射的定义，当值域colsp(A)colsp(\boldsymbol{A})扩大到和到达域Rm\mathbb{R}^m一样大时，列向量矩阵函数Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}就是满射：

3

所以满射时，有rank(colsp(A))=mrank\Big(colsp(\boldsymbol{A})\Big)=m，又因为列秩=行秩，所以：

\begin{align}\left.\begin{aligned}rank\Big(colsp(\boldsymbol{A})\Big)=m\\列秩=行秩\end{aligned}\right\} \implies rank\Big(rowsp(\boldsymbol{A})\Big)=m\end{align}

又有A\boldsymbol{A}为m×nm\times n的矩阵，因此：

\begin{align}rank\Big(rowsp(\boldsymbol{A})\Big)=m\iff \boldsymbol{A}\ 是行满秩\iff \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\ 是满射\end{align}

​ （2）行向量矩阵函数xTA=yT\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}的证明与上面类似，就不再赘述。

比如说A=(−10122−2)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&0&1\\2&2&-2\end{pmatrix}是行满秩的，此时Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}的自然定义域为R3\mathbb{R}^3，到达域为R2\mathbb{R}^2，值域也为R2\mathbb{R}^2，到达域=值域，符合满射的定义，因此Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}是满射：

3

而A=(−12021−2)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&2\\1&-2\end{pmatrix}不是行满秩的，此时Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}的自然定义域为R2\mathbb{R}^2，到达域为R3\mathbb{R}^3，值域为R3\mathbb{R}^3中的平面，到达域≠\ne值域，因此Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}是非满射：

2

双射

如果一个映射，既是单射又是满射，那么称为双射。所以结合上矩阵函数的单射以及矩阵函数的满射，可知：

在自然定义域下，有：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c} \hline \quad矩阵函数\quad&\quad 单射的充要条件 \quad&\quad 满射的充要条件 \quad&\quad 双射的充要条件 \quad\\\hline\\ \quad \begin{aligned}A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\ \ \\\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}\end{aligned} \quad&\quad \begin{aligned}列满秩\\行满秩\end{aligned} \quad&\quad \begin{aligned}行满秩\\列满秩\end{aligned} \quad&\quad 满秩\quad\\ \\ \hline \end{array}\end{align}

比如说A=(1234)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}是满秩矩阵，此时列向量矩阵函数Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}的自然定义域为R2\mathbb{R}^2，到达域为R2\mathbb{R}^2，值域也为R2\mathbb{R}^2，此时：

\begin{align}定义域的维度=到达域的维度=值域的维度\end{align}

既是单射又是满射，因此Ax=y\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}是双射：

2

换成行向量矩阵函数xTA=yT\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}也是双射。