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本篇为文章的延伸

张成空间

某向量组A={v1,v2,...,vp}\mathcal{A}=\{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},...,\boldsymbol{v_p}\}，其所有线性组合构成的集合为向量空间，也称为向量组A\mathcal{A}的张成空间，记为span(v1,v2,...,vp)span(\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},...,\boldsymbol{v_p})，即：

\begin{align}span(\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},...,\boldsymbol{v_p})=\{k_1\boldsymbol{v_1}+k_2\boldsymbol{v_2}+...+k_p\boldsymbol{v_p},k_{1,2,...,p}\in\mathbb{R}\}\end{align}

也称span(v1,v2,...,vp)span(\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},...,\boldsymbol{v_p})为向量组A\mathcal{A}所张成。

几何意义

比如向量组{u=(1,0,0),v=(0,1,0),w=(0,0,1)}\{\boldsymbol{u}=(1,0,0),\boldsymbol{v}=(0,1,0),\boldsymbol{w}=(0,0,1)\}，其张成空间为：

\begin{align}\mathbb{R^3}=span(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})\end{align}

即整个三维空间都由其张成：

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美术意义

用向量组来表示三原色：

\begin{align}\{\boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}255\\0\\0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{G}=\begin{pmatrix}0\\255\\0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}0\\0\\255\end{pmatrix}\}\end{align}

该向量组混合出所有的颜色：

\begin{align}所有的颜色=k_1\boldsymbol{R}+k_2\boldsymbol{G}+k_3\boldsymbol{B},\quad (k_{1,2,3}\in\mathbb{R})\end{align}

所有颜色构成一个向量空间，也就是色彩空间：

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也就是说三原色的张成空间为色彩空间：

\begin{align}色彩空间=span(\boldsymbol{R},\boldsymbol{G},\boldsymbol{B})\end{align}

线性相关与线性无关

对于构成空间的向量来说，矩阵的秩为多少那么这个空间就需要最小的几个线性无关的向量来构成

以行列式的角度看

以3阶行列式为例，若D3≠0D_{3}\neq0，则意味着体积不为0，则称组成该行列式的三个向量线性无关；若D3=0D_{3}=0，则称线性相关。

以向量的角度看

给定向量组A={a1,a2,⋯ ,am}\mathcal{A}=\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_m}\}，如果存在不全为零的实数k1,k2,...kmk_1,k_2,...k_m，使：

\begin{align}k_1\boldsymbol{a_1}+k_2\boldsymbol{a_2}+...+k_m\boldsymbol{a_m}=\boldsymbol{0}\end{align}

则称向量组A\mathcal{A}是线性相关的，否则称它为线性无关。

下面来解读下这个定义是什么意思？对于向量组A\mathcal{A}有：

\begin{align}k_1\boldsymbol{a_1}+k_2\boldsymbol{a_2}+...+k_m\boldsymbol{a_m}=\boldsymbol{0}\Longrightarrow -k_1\boldsymbol{a_1}=k_2\boldsymbol{a_2}+...+k_m\boldsymbol{a_m}\end{align}

假设向量组A\mathcal{A}是线性相关的，根据上面的定义有k1,k2,...kmk_1,k_2,...k_m不全为零，不妨假设k1≠0k_1\neq 0，那么可以得到：

\begin{align}\displaystyle\boldsymbol{a_1}=-\frac{k_2\boldsymbol{a_2}+...+k_m\boldsymbol{a_m}}{k_1}\end{align}

也就是说，a1\boldsymbol{a_1}是a2,a3...am\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{a_3}...\boldsymbol{a_m}的线性组合。所以线性相关的意思就是向量组中的某个向量可以通过其它向量的线性组合得到。否则，该向量组就是线性无关的。

线性无关

RGBRGB称为三原色，意思就是这三种颜色是最基本的颜色，缺一不可：

上述三个颜色中的任意一种都不可能被另外两种颜色混合出来，假如用向量来表示这三种颜色：

\begin{align}\boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}255\\0\\0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{G}=\begin{pmatrix}0\\255\\0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}0\\0\\255\end{pmatrix}\end{align}

可以说这三者组成的向量组：

\begin{align}\mathcal{A}=\{\boldsymbol{R},\boldsymbol{G},\boldsymbol{B}\}\end{align}

是线性无关的。因此三原色是线性无关在美术中的一个例子。

线性相关

海棠红可以通过三原色混合得到：

或者说海棠红可以通过RGB线性组合得到：

\begin{align}海棠红=R+\frac{52}{255}G+\frac{85}{255}B\end{align}

那么下面这个向量组：

\begin{align}\mathcal{A}=\{\boldsymbol{R},\boldsymbol{G},\boldsymbol{B},海棠红\}\end{align}

就是线性相关的。这就是线性相关在美术中的一个例子。

几何上面的例子

通俗的说，线性相关是指两个向量从同一个起点出发，同方向或者反方向的前进组成的，如果是在二维中两向量无法组成一个平面，三维中三个向量无法组成一个空间。下图为线性相关v1\boldsymbol{v_1}和v2\boldsymbol{v_2}可以互相线性表示

image-20230927134800112

下图为线性无关，v3\boldsymbol{v_3}和v4\boldsymbol{v_4}不能互相线性表示

image-20230927134903040

线性组合

给定向量组A={a1,a2,...,am}\mathcal{A}=\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_m}\}和向量b\boldsymbol{b_{}}，如果存在一组实数k1,k2,...kmk_1,k_2,...k_m，使：

\begin{align}\boldsymbol{b_{}}=k_1\boldsymbol{a_1}+k_2\boldsymbol{a_2}+...+k_m\boldsymbol{a_m}\end{align}

则称向量b\boldsymbol{b_{}}能由向量组A\mathcal{A}线性表示，也可以说向量b\boldsymbol{b_{}}是向量组A\mathcal{A}的线性组合。

几何意义

比如说对于w=2u+3v\boldsymbol{w}=2\boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v}，根据向量加法，这个代数式的几何意义为：

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如果有向量组A={u,v}\mathcal{A}=\{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\}，那么根据定义，可以称w\boldsymbol{w}能由向量组A\mathcal{A}线性表示，或称w\boldsymbol{w}是向量组A\mathcal{A}的线性组合，因此上图也可以看作是线性组合的几何意义。

美术意义

海棠红可以由RR、GG、BB三种颜色调出来：

根据上图有：

\begin{align}海棠红=R+\frac{52}{255}G+\frac{85}{255}B\end{align}

假如用向量来表示RR、GG、BB的话：

\begin{align}\boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}255\\0\\0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{G}=\begin{pmatrix}0\\255\\0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}0\\0\\255\end{pmatrix}\end{align}

并且令k1=1k_1=1，k2=52255k_2=\frac{52}{255}，k3=85255k_3=\frac{85}{255}，那么海棠红可以表示为：

\begin{align}\begin{aligned} 海棠红 &=R+\frac{52}{255}G+\frac{85}{255}B\\ \\ &=\begin{pmatrix}255\\0\\0\end{pmatrix}+\frac{52}{255}\begin{pmatrix}0\\255\\0\end{pmatrix}+\frac{85}{255}\begin{pmatrix}0\\0\\255\end{pmatrix}\\ \\ &=k_1\cdot R+k_2\cdot G+k_3\cdot B\\ \end{aligned}\end{align}

所以，称海棠红可由向量组{R,G,B}\{R,G,B\}线性表示，或者称海棠红是向量组{R,G,B}\{R,G,B\}的线性组合。

向量组

若干同维数的列向量（或者同维数的行向量）所组成的集合，叫做向量组。比如同维数的向量a1,a2,...am\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...\boldsymbol{a_m}，可以组成向量组A\mathcal{A}，通常记作：

\begin{align}\mathcal{A}:\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_m}\quad 或\quad \mathcal{A}=\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_m}\}\end{align}

比如下面就是一个向量组：

\begin{align}\{\begin{pmatrix}255\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\255\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\255\end{pmatrix}\}\end{align}

而下面的集合就不是向量组，因为向量的维数不同：

\begin{align}\{\begin{pmatrix}255\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\255\end{pmatrix},\begin{pmatrix}255\end{pmatrix}\}\end{align}

例题

求向量组β1=[1,2,1,3]T,β2=[1,1,−1,1]T,β3=[1,3,3,5]T,β4=[4,5,−3,6]T,β5=[−3,−5,−2,−7]T\begin{array}{c} \boldsymbol{\beta}_{1}=[1,2,1,3]^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\beta}_{2}=[1,1,-1,1]^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\beta}_{3}=[1,3,3,5]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{4}=[4,5,-3,6]^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\beta}_{5}=[-3,-5,-2,-7]^{\mathrm{T}} \end{array}的秩、极大线性无关组, 并将其余的向量用极大线性无关组线性表出

解：用列向量组作初等行变换，因初等行变换将方程组变成同解方程组，故变换前后的任何相应的部分 (或全部)列向量组成的方程组仍同解，即它们具有相同的线性相关性。

下列公式括号内内容表示行号

\begin{align}\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 4 & -3 \\ 2 & 1 & 3 & 5 & -5 \\ 1 & -1 & 3 & -3 & -2 \\ 3 & 1 & 5 & 6 & -7 \end{array}\right]\xrightarrow[\substack{(3)-(1)\\(4)-3(1)}]{(2)-2(1)}\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 4 & -3 \\ 0 & -1 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & -7 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & -6 & 2 \end{array}\right]} \\ \xrightarrow[(4)-2(2)]{(3)-2(2)}\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 4 & -3 \\ 0 & -1 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ \xrightarrow[\substack{-1(2) \\ -1(3)}]{(1)+(2)}\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{\beta}_{2}^{\prime}, \boldsymbol{\beta}_{3}^{\prime}, \boldsymbol{\beta}_{4}^{\prime}, \boldsymbol{\beta}_{5}^{\prime}\right] . \\ \end{array}\end{align}

由右端阶梯形矩阵知r(β1,β2,β3,β4,β5)=3r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{5}\right)=3，由β1′,β2′,β4′\boldsymbol{\beta}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{\beta}_{2}^{\prime}, \boldsymbol{\beta}_{4}^{\prime}线性无关 (由第 1,2,4 列组成的齐次线性方程组有唯一零解推得) 知，β1,β2,β4\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{4}线性无关，是原向量组的极大线性无关组，β3,β5\boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{5}可由β1,β2,β4\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{4}线性表出，由方程

\begin{align}\begin{array}{c} \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\beta}_{1}^{\prime} x_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}^{\prime} x_{2}+\boldsymbol{\beta}_{4}^{\prime} x_{3}=\boldsymbol{\beta}_{3}^{\prime}, \\ \boldsymbol{\beta}_{1}^{\prime} y_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}^{\prime} y_{2}+\boldsymbol{\beta}_{4}^{\prime} y_{3}=\boldsymbol{\beta}_{5}^{\prime} \end{array}\right. \\\end{array}\end{align}

可解得

\begin{align}\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\beta}_{3}^{\prime}=2 \boldsymbol{\beta}_{1}^{\prime}-\boldsymbol{\beta}_{2}^{\prime}+0 \boldsymbol{\beta}_{4}^{\prime}, \\ \boldsymbol{\beta}_{5}^{\prime}=-3 \boldsymbol{\beta}_{1}^{\prime}-4 \boldsymbol{\beta}_{2}^{\prime}+\boldsymbol{\beta}_{4}^{\prime} \end{array}\right. \end{align}

既

\begin{align}\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\beta}_{3}=2 \boldsymbol{\beta}_{1}-\boldsymbol{\beta}_{2}, \\ \boldsymbol{\beta}_{5}=-3 \boldsymbol{\beta}_{1}-4 \boldsymbol{\beta}_{2}+\boldsymbol{\beta}_{4} \end{array}\right.\end{align}

最大无关组

设有向量组A\mathcal{A}，如果在A\mathcal{A}中能选出rr个向量a1,a2,...,ar\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_r}满足：

  • 向量组A0={a1,a2,...,ar}\mathcal{A}_0=\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_r}\}线性无关
  • 向量组A\mathcal{A}中任意r+1r+1个向量（如果A\mathcal{A}中有r+1r+1个向量的话)都线性相关

那么称向量组A0\mathcal{A}_0是向量组A\mathcal{A}的一个 最大线性无关组 ，简称**最大无关组 **。

对于向量组A={R,G,B,\mathcal{A}=\{\boldsymbol{R},\boldsymbol{G},\boldsymbol{B},黄}\}：

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其中的黄色实际上是多余的，因为它可以由另外两个颜色合成：

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去掉黄色之后得到的就是最大无关组：

\begin{align}\mathcal{A}_0=\{\boldsymbol{R},\boldsymbol{G},\boldsymbol{B}\}\end{align}

并不唯一

对于向量组A={R,G,B,\mathcal{A}=\{\boldsymbol{R},\boldsymbol{G},\boldsymbol{B},黄}\}而言，下面的A0\mathcal{A}_0、A1\mathcal{A}_1都是它的最大无关组，所以最大无关组并不唯一：

\begin{align}\mathcal{A}_0=\{\boldsymbol{R},\boldsymbol{G},\boldsymbol{B}\},\quad \mathcal{A}_1=\{\boldsymbol{R},\boldsymbol{B},黄\}\end{align}

没有最大无关组

只包含零向量的向量组，比如：

\begin{align}\mathcal{A}=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right\}\end{align}

因为只包含零向量，所以必然线性相关，因此该向量组没有最大无关组。

向量的秩

假设向量组A\mathcal{A}的最大无关组为：

\begin{align}\mathcal{A}_0=\{a_1,a_2,\cdots,a_r\}\end{align}

A0\mathcal{A}_0的向量个数rr称为向量组AA的秩，记做rank(A)rank(\mathcal{A})，有时也记作r(A)r(\mathcal{A})。等价向量具有相等的秩，反之未必成立

等价向量组

设两个向量组:(I)α1,α2,⋯ ,αs,(II)β1,β2,⋯ ,βt\boldsymbol{(I)}\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s},(II)\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{t}。若(I)(I)中每个向量αi(i=1,2,⋯ ,s)\boldsymbol{\alpha}_{i}(i=1,2,\cdots,s)均可由(II)(II)中向量线性表出，则称向量组(I)(I)可由向量组(II)(II)线性表出；若向量组(I)(I),(II)(II)可以相互线性表出，则称向量组(I)(I)与向量组(II)(II)是等价向量组，记作(I)≅(II)(I)\cong(II)

等价向量组满足:

  • (I)≅(I)(I)\cong(I)（反身性）
  • 若(I)≅(II)(I)\cong(II)，则(II)≅(I)(II)\cong(I)（对称性）
  • 若(I)≅(II),(II)≅(III)(I)\cong(II),(II)\cong(III)，则(I)≅(III)(I)\cong(III)（传递性）

向量组和它的极大线性无关组是等价向量组

等价矩阵与等价向量组的区别

  1. AA、BB矩阵同形下：AA、BB等价的充分必要条件r(A)=r(B)r(A)=r(B)
  2. (I)(I)、(II)(II)向量组同维下：(I)(I)、(II)(II)等价的充分必要条件r(I)=r(II)=r(I∣II)r(I)=r(II)=r(I \mid II)

几何意义

下图中有4个向量：

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容易算出向量组{a,b}\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}和向量组{c,d}\{\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\}可以相互线性表示，因此，这两个向量组是等价向量组。

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通过数格子可以知道这4个向量为：

\begin{align}\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\\\boldsymbol{c}=\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{d}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\end{align}

容易算出向量组{a,b}\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}可以由向量组{c,d}\{\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\}线性表示：

\begin{align}\boldsymbol{a}=\frac{3}{4}\boldsymbol{c}-\frac{5}{4}\boldsymbol{d},\quad \boldsymbol{b}=-1\boldsymbol{c}+0\boldsymbol{d}\end{align}

反过来，向量组{c,d}\{\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}\}也可以由向量组{a,b}\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}线性表示：

\begin{align}\boldsymbol{c}=0\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\quad \boldsymbol{d}=-\frac{4}{5}\boldsymbol{a}-\frac{3}{5}\boldsymbol{b}\end{align}

也就是说这两个向量组可以相互线性表示，因此，这两个向量组是等价向量组。

美术意义

除了RGBRGB三原色外，现实中还常常使用一种印刷三原色CMYCMY：

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这两种三原色可以互相调出。也就是说，CMYCMY可以由RGBRGB调出，反之亦然，因此这两种三原色组成的向量组是等价向量组：

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相等的张成空间

等价向量组的张成空间是相等的：

假设有两个向量组：

\begin{align}\mathcal{A}=\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_n}\},\quad \mathcal{B}=\{\boldsymbol{b_1},\boldsymbol{b_2},...,\boldsymbol{b_m}\}\end{align}

则：

\begin{align}\mathcal{A}\ 和\ \mathcal{B}\ 等价\iff span(\mathcal{A})=span(\mathcal{B})\end{align}

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（1）先证“A\mathcal{A}和B\mathcal{B}等价  ⟹  span(A)=span(B)\implies span(\mathcal{A})=span(\mathcal{B})”

首先：

\begin{align}span(\mathcal{A})=k_1\boldsymbol{a_1}+k_2\boldsymbol{a_2}+\cdots+k_n\boldsymbol{a_n},k_{1,2,\cdots,n}\in\mathbb{R}\\span(\mathcal{B})=r_1\boldsymbol{b_1}+r_2\boldsymbol{b_2}+\cdots+r_m\boldsymbol{b_m},r_{1,2,\cdots,m}\in\mathbb{R}\end{align}

因为A\mathcal{A}和B\mathcal{B}等价，意味着两者可以相互线性表示。A\mathcal{A}中每一个元素可以由B\mathcal{B}线性表示，反之亦然。

那么，a1,a2,⋯ ,an\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_n}每一个都可以由b1,b2,⋯ ,bm\boldsymbol{b_1},\boldsymbol{b_2},\cdots,\boldsymbol{b_m}线性表示出来，所以可得：

\begin{align}span(\mathcal{A})\implies span(A)=s_1\boldsymbol{b_1}+s_2\boldsymbol{b_2}+\cdots+s_m\boldsymbol{b_m}\end{align}

但不知道s1,s2,⋯ ,sms_1,s_2,\cdots,s_m是什么实数，如果为任意实数则：

\begin{align}span(\mathcal{A})=s_1\boldsymbol{b_1}+s_2\boldsymbol{b_2}+\cdots+s_m\boldsymbol{b_m}=span(\mathcal{B})\end{align}

如果不为任意实数则有（如果不理解下面的结论，可以想想，比如s1=1s_1=1，其余为任意实数时的情况)：

\begin{align}span(\mathcal{A})=s_1\boldsymbol{b_1}+s_2\boldsymbol{b_2}+\cdots+s_m\boldsymbol{b_m}\subseteq span(\mathcal{B})\end{align}

即不知道s1,s2,⋯ ,sms_1,s_2,\cdots,s_m是什么实数的情况下有：

\begin{align}span(\mathcal{A})\subseteq span(\mathcal{B})\end{align}

同样可以得到：

\begin{align}span(\mathcal{B})\subseteq span(A)\end{align}

进而推出：

\begin{align}span(\mathcal{A})=span(\mathcal{B})\end{align}

（2）再证“span(A)=span(B)span(\mathcal{A})=span(\mathcal{B})  ⟹  A\implies\mathcal{A}和B\mathcal{B}等价”

span(A)span(\mathcal{A})是所有的A\mathcal{A}的线性组合，span(B)span(\mathcal{B})是所有的B\mathcal{B}的线性组合，两者相等，说明：

\begin{align}\mathcal{B}\subseteq span(\mathcal{A}),\quad \mathcal{A}\subseteq span(\mathcal{B})\end{align}

所以两者可以相互线性表示，即A\mathcal{A}和B\mathcal{B}等价。

用颜色来解释上面的定理就是，既然RGBRGB和CMYCMY是等价向量组，那么RGBRGB可以调出所有的颜色，所以CMYCMY也可以调出来所有的颜色：

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例题

设向量组(I)α1=[1,0,2]T,α2=[0,1,1]T,α3=[2,−1,a+4]T(I ) \boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,0,2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[0,1,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=[2,-1, a+4]^{\mathrm{T}}，向量组(II)β1=[1,2,4]T,β2=[1,−1,a+2]T,β3=[3,3,10]T( II ) \boldsymbol{\beta}_{1}= [1,2,4]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=[1,-1, a+2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=[3,3,10]^{\mathrm{T}}，矩阵A=[10201−121a+4],B=[1132−134a+210]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & a+4\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & a+2 & 10\end{array}\right]

  1. A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}否等价? 说明理由;
  2. 向量组(I)α1,α2,α3(I) \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}与(II)β1,β2,β3( II ) \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}是否等价? 说明理由

下列公式括号内内容表示行号，[]表示列号

求秩的时候可行，可列，可行可列变换

解：第一个问题，首先A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}满足同型条件，那么只需要求出两矩阵秩相等即可，那么对A\boldsymbol{A}进行初等变换，即可得出

\begin{align}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & a+4 \end{array}\right] \xrightarrow[]{(3)-2(1)} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & a \end{array}\right] \xrightarrow[]{(3)-(2)}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & a+1 \end{array}\right]\end{align}

然后在对B\boldsymbol{B}进行初等变换，即可得出

\begin{align}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & a+2 & 10 \end{array}\right] \xrightarrow[(3)-4(1)]{(2)-2(1)} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & a-2 & -2 \end{array}\right] \xrightarrow[]{-\frac{1}{3}(2)} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & a-2 & -2 \end{array}\right] \xrightarrow[]{(3)+2(2)} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & a & 0 \end{array}\right] \xrightarrow{[2][3]列互换}\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a \end{array}\right]\end{align}

进行讨论：

  • 当a≠0a\ne0且a+1≠0a+1 \ne 0时，A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}等价
  • 当a=−1a=-1时, r(A)=2≠r(B)=3r(\boldsymbol{A})=2 \neq r(\boldsymbol{B})=3，A\boldsymbol{A}不等价于B\boldsymbol{B}
  • 当a=0a=0时, r(A)=3≠r(B)=2r(\boldsymbol{A})=3 \neq r(\boldsymbol{B})=2，A\boldsymbol{A}不等价于B\boldsymbol{B}

第二个问题，首先(I)(I)、(II)(II)满足同维，那么只需要求出r(I)=r(II)=r(I∣II)r(I)=r(II)=r(I \mid II)即可，也就是r(A)=r(B)=r(A∣B)r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})=r(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B})，那么对A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}合并，一起作初等行变换，不再列出变换的具体过程，即可得出

\begin{align}\begin{aligned} {\left[\begin{array}{c:c} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & a+4 & 4 & a+2 & 10 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & a & 2 & a & 4 \end{array}\right] \\ & \longrightarrow\left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & a+1 & 0 & a+1 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}\end{align}

互换位置进行初等变换

\begin{align}\begin{array}{l} \left[\begin{array}{c:c} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{A} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & -1 \\ 4 & a+2 & 10 & 2 & 1 & a+4 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & -3 & -2 & 1 & -5 \\ 0 & a-2 & -2 & -2 & 1 & a-4 \end{array}\right]\\ \longrightarrow\left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ 0 & a & 0 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & a-\frac{2}{3} \end{array}\right] \end{array}\end{align}

进行讨论：结论与问题一同理

向量空间

设V\mathcal{V}为一向量组，如果V\mathcal{V}非空，且V\mathcal{V}对于向量的基本运算，即加法及数乘，封闭，那么就称V\mathcal{V}为向量空间。

所谓封闭，是指在V\mathcal{V}中向量进行数乘和加减，其结果依然在V\mathcal{V}中。具体的说，就是:

  • 若a∈V,b∈V\boldsymbol{a}\in \mathcal{V},\boldsymbol{b}\in \mathcal{V}，则a+b∈V\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \in \mathcal{V}
  • 若a∈V,k∈R\boldsymbol{a}\in \mathcal{V},k\in \mathbb{R}，则ka∈Vk\boldsymbol{a} \in \mathcal{V}

宇宙空间和向量空间都有”空间”二字，可以将两者进行类比理解：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c} \hline &\quad 宇宙空间\quad&\quad 向量空间 \quad \\ \hline \\ \quad包含\quad&\quad\begin{aligned}包含各种物质，\quad\ \ \\比如星体、生物、能量等\end{aligned}\quad&\quad包含向量\quad\\ \\ \quad封闭\quad&\quad\begin{aligned}物质进行的各种运动后，依然在宇宙中，\\比如恒星燃烧后化为能量，依然在宇宙中\ \end{aligned}\quad&\quad\begin{aligned}向量进行基本运算后\ \ \\结果依然在向量空间中\end{aligned}\quad\\ \\ \hline \end{array}\end{align}

零向量

假设V\mathcal{V}为由nn维向量构成的向量空间。任取其中两向量u1\boldsymbol{u_1}、u2\boldsymbol{u_2}，有：

\begin{align}0\boldsymbol{u_1}+0\boldsymbol{u_2}=(0,0,\cdots,0)\end{align}

因此向量空间必然包含零向量。

特殊向量空间

所有nn维向量构成的集合是一个向量空间Rn\color{Salmon}{\mathbb{R^n}}：

\begin{align}\mathbb{R^n}=\{(x_1,x_2,...,x_n)|n\in \mathbb{N},x_n\in\mathbb{R}\},\quad n\ge 1\end{align}

其中R1\mathbb{R^1}、R2\mathbb{R^2}、R3\mathbb{R^3}分别代表包含一维直线、二维平面和三维空间，图中的黑点表示零向量：

2

子空间

已知V1,V2\mathcal{V}_1,\mathcal{V}_2是两个向量空间，且满足关系：

\begin{align}\mathcal{V}_1\subseteq \mathcal{V}_2\end{align}

那么称V1\mathcal{V}_1是V2\mathcal{V}_2的子空间。

下图中的原点、过原点的直线、过原点的平面均为R3\mathbb{R^3}的子空间：

2

只包含零向量的向量空间

只包含零向量的向量组，也满足对数乘和加法封闭，所以也是向量空间。比如：

\begin{align}A=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right\}\end{align}

它代表是R3\mathbb{R^3}中的原点，所以是R3\mathbb{R^3}的子空间：

2