洛必达法则

洛必达法则

对于分式$\frac{f(x)}{g(x)}$，如果在自变量的某一变化过程中，分子分母的极限均为零或者均为无穷大，这时该分式的极限可能存在，也可能不存在，通常称这种分式的极限为未定式，分别记为$\frac{0}{0}$和$\frac{\infty}{\infty}$

洛必达法则：在自变量$x$的某一个变化过程中$x \to a , x \to a^+ , x \to a^- , x \to \infty , x \to -\infty , x \to + \infty$，设$f(x),g(x)$ 满足下列条件：

• 函数$f(x),g(x)$的极限均为0或者$\infty$
• $f(x),g(x)$均可导，既${f}'(x),{g}'(x)$ 存在，且${g}'(x) \ne 0$
• $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在或者为$\infty$

则$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$

做题思路：判断类型然后求导到不再是$\frac{0}{0}$ 和$\frac{\infty}{\infty}$ 后把值带进去

例题1：

\begin{align} \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x+2}{x^{3}-x^{2}-x+1} & = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x^{2}-3}{3 x^{2}-2 x-1} \\ & = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{6 x}{6 x-2} \\ & = \frac{3}{2} \end{align}

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{6 x}{6 x-2}$不再是$\frac{0}{0}$型不可在求导，所以代入值计算

例题2：

\begin{align} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^{3}} & = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{3 x^{2}} \\ &= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{6 x} \\ &= \frac{1}{6} \end{align}

其他未定式：$0 \cdot \infty , \infty-\infty , 0^0 , 1^\infty , \infty^0$型

先变形转化为$\frac{0}{0}$或者$\frac{\infty}{\infty}$型，在考虑使用洛必达法则

• $0 \cdot \infty=\frac{0}{\frac{1}{\infty} }=\frac{\infty}{\frac{1}{0} }$
• $\infty-\infty$：先"合二为一"，在观察类型
• $0^0$，$1^\infty$，$\infty^0$：幂指数函数类型的未定式，有$f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln(f(x))}$，指数部分$g(x)\ln(f(x))$为$0 \cdot \infty$型