函数的单调性、曲线的凹凸性、极值与最大最小值

函数的单调性

定理：设函数$f(x)$在$\left [a,b \right ]$上连续，$\left (a,b\right)$内可导

• 若在$\left (a,b\right)$内${f}'(x)\ge0$且等于0仅在有限点处成立，那么$f(x)$在$\left [a,b \right ]$上严格单调增加
• 若在$\left (a,b\right)$内${f}'(x)\le 0$且等于0仅在有限点处成立，那么$f(x)$在$\left [a,b \right ]$上严格单调减少

判断函数单调性的步骤

1. 确定定义域
2. 求一阶导数，找到驻点（${f}'(x)= 0$的点）和不可导的点
3. 以这两类点划分定义区间，判断${f}'(x)$在各子区间内的符号，从而确定函数在各子区间的单调性。一般会列表分析

例题：讨论函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2+x+2$的单调性

解：$f(x)$的定义域为$(-\infty ,+\infty )$，且$f(x)$处处连续，处处可导

\begin{align} {f}'(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\ge0\end{align}

且$f(x)=0$仅在$x=-1$处取得（驻点），所以$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上单调增加

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例题：讨论$f(x)=e^x-x-1$的单调性

解：$f(x)$的定义域为$(-\infty ,+\infty )$，且$f(x)$处处连续，处处可导

\begin{align}{f}'(x)=e^x-1\end{align}

令${f}'(x)=0$，得到驻点$x=0$。在$(-\infty ,0)$内，${f}'(x)<0$，在$(0,+\infty)$内，${f}'(x)>0$

所以在$(-\infty,0]$上单调递减，在$[0,+\infty)$上单调递增

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例题：讨论函数$f(x)=3x-x^3$的单调区间

解：$f(x)$的定义域为$(-\infty ,+\infty )$，且$f(x)$处处连续，处处可导

\begin{align}{f}'(x)=3-3x^2\end{align}

驻点：$x_1=-1,x_2=1$

$x$	$(-\infty ,-1)$	-1	(-1 ,1)	1	$(1,+\infty )$
${f}'(x)$	-	0	+	0	-
$f(x)$	$\searrow$		$\nearrow$		$\searrow$

所以单调递减区间：$(-\infty ,-1)$和$(1,+\infty )$。单调递增区间：$(-1,1)$

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例题：讨论函数$f(x)=\sqrt[3]{x^2}$的单调区间

解：$f(x)$的定义域为$(-\infty ,+\infty )$，且$f(x)$处处连续

\begin{align}{f}'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\end{align}

$f(x)$在$x=0$处不可导，所以我们就要对函数不可导点左右两边进行研究，在$(-\infty ,0)$内，${f}'(x)<0$，在$(0,+\infty)$内，${f}'(x)>0$

所以在$(-\infty,0]$上单调递减，在$[0,+\infty)$上单调递增

${f}'(x)$不存在的点左右两侧单调性可能改变

曲线的凹凸性和拐点

曲线的凹凸性

一个函数在上升或下降的过程中，常常会有一个弯曲方向的问题，例如：虽然同为上升函数，但弯曲方向的不同使它们看起来有显著的区别

上图中弧线ACB是一个上凸的曲线弧，而ADB是一个下凸的曲线弧

下面给出曲线凹凸性的定义:
设$f(x)$在区间$I$上连续，如果对$I$上任意两点$x_1,x_2$，恒有

\begin{align}f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\end{align}

那么称$f(x)$在$I$上的图形是下凸的。如果恒有

\begin{align}f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\end{align}

那么称$f(x)$在$I$上的图形是上凸的。

定理2：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导

1. 若在$(a,b)$内${f}''(x)>0$，则$f(x)$的图形在$[a,b]$上是下凸
2. 若在$(a,b)$内${f}''(x)<0$，则$f(x)$的图形在$[a,b]$上是上凸

一般用定理2来求解比较方便

拐点

若连续的曲线上某一点$M(x_0,f(x_0))$的两侧曲线的凹凸性不一致，则称M为曲线的拐点。比如下图函数$y=x^3$中原点就是拐点

求凹凸区间的一般方法：

设$f(x)$在其定义的区间上连续，且仅有有限个${f}''(x)=0$和${f}''(x)$不存在点

1. 求${f}''(x)$
2. 令${f}''(x)=0$，求其全部解，并求${f}''(x)$不存在的点；用这些点来把定义区间分为若干部分区间
3. 在每个部分区间内判断${f}'(x)'$的正负性，从而判定凹凸性

例题：讨论曲线$y=x^2$的凹凸性

解：定义域为$(-\infty ,+\infty)$

${y}'=2x ;{y}''=2$

因为二阶导数大于 零，所以$y=x^2$的图形在$(-\infty ,+\infty)$内是下凸

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例题：讨论曲线$y=x^3$的凹凸性

解：定义域为$(-\infty ,+\infty)$

${y}'=3x^2 ;{y}''=6x$，令${y}''=0$得$x=0$

所以$x<0$时，${y}''<0$，故$y=x^3$的图形在$(-\infty ,0]$上凸

所以$x>0$时，${y}''>0$，故$y=x^3$的图形在$[0,+\infty)$下凸

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例题：讨论曲线$y=x^\frac{5}{3}$的凹凸性

解：定义域为$(-\infty ,+\infty)$

${y}'=\frac{5}{3}x^\frac{2}{3} ;{y}''=\frac{10}{9}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{10}{9}\cdot\frac{1}{x^\frac{1}{3}}$，令$x=0$得${y}''$不存在

所以$x<0$时，${y}''<0$，故$y=x^\frac{5}{3}$的图形在$(-\infty ,0]$上凸

所以$x>0$时，${y}''>0$，故$y=x^\frac{5}{3}$的图形在$[0,+\infty)$下凸

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例题：讨论曲线$y=3x^4-4x^3+1$，求曲线$y=f(x)$的凹凸区间和拐点

解：定义域为$(-\infty ,+\infty)$

${f}'(x)=12x^3-12x^2;{f}''(x)=36x^2-24x=12x\cdot(3x-2)$，令${f}''(x)=0$得$x_1=0,x_2=\frac{2}{3}$

$x$	$(-\infty ,0)$	0	$(0 ,\frac{2}{3})$	$\frac{2}{3}$	$(\frac{2}{3} ,+\infty)$
${f}''(x)$	+	0	-	0	+
$f(x)$	下凸	拐点	上凸	拐点	下凸

所以$y=f(x)$图形的下凸区间：$(-\infty ,0],[\frac{2}{3} ,+\infty)$；上凸区间：$[0 ,\frac{2}{3}]$

拐点（把$x$的值带进到函数中算）：$(0,1),(\frac{2}{3},\frac{11}{27})$

极值与最大最小值

定义

设函数$f(x)$在点$x_{0}$的某邻域$U\left(x_{0}\right)$内有定义, 如果对于去心邻域$\stackrel{\circ}{U}\left(x_{0}\right)$内的任$-x$, 有

$f(x)<f(x_{0})$或$f(x)>f(x_{0})$，那么就称$f\left(x_{0}\right)$是函数$f(x)$的一个极大值(或极小值)

极大值为：$f(x_2)$、$f(x_5)$

极小值为：$f(x_1)$、$f(x_4)$、$f(x_6)$

在区间$[a,b]$中最小值同时也是极小值$f(x_1)$，而最大值$f(b)$不是极值点

定理

极值的必要条件：设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且$x_0$处取得极值，则${f}'(x_0)=0$

极值的第一充分条件：设函数$f(x)$在$x_0$处连续，且在$x_0$的某去心领域$\stackrel{\circ}{U}(x_{0},\delta)$内可导

1. 若$x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$时，$f^{\prime}(x)>0$，而$x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$，则$f(x)$在$x_{0}$处取极大值
2. 若$x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$时，$f^{\prime}(x)<0$，而$x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$时， $f^{\prime}(x)>0$，则$f(x)$在$x_{0}$处取极小值，
3. 若$x\in \stackrel{\circ}{U}(x_0, \delta)$时，$f^{\prime}(x)$的符号保持不变, 则$f(x)$在$x_{0}$处没有极值

极值的第二充分条件：设函数$f(x)$在$x_0$处具有二阶导数且${f}'(x_0)=0$，${f}''(x_0)\ne 0$，则

1. 当$f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)<0$，函数$f(x)$在$x_{0}$处取极大值
2. 当$f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$，函数$f(x)$在$x_{0}$处取极小值

求极值的一般步骤：

$f(x)$在区间$I$上连续，除有限个点外均可导

1. 求出导数${f}'(x)$
2. 令${f}'(x)=0$，求出$f(x)$的全部驻点及不可导点
3. 用上一点中的点把定义域分成若干个区间，考查各点左右两侧${f}'(x)$的符号，定出极值点
4. 求出极值

例题：求$f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{5}x^5$的极值

解：函数的定义域为$(-\infty ,+\infty]$，

${f}'(x)=x^2-x^4=x^2 \cdot (1+x)(1-x)$

驻点：$x_1=-1,x_2=0,x_3=1$

$x$	$(-\infty ,-1)$	-1	$(-1 ,0)$	0	$(0 ,1)$	1	$(1,+\infty)$
${f}'(x)$	-	0	+	0	+	0	-
$f(x)$	$\searrow$	极小值点	$\nearrow$	无极值	$\nearrow$	极大值点	$\searrow$

所以极小值点为-1，极大值点为1