定积分

定义

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 中任意插入若干个分点：

$\begin{align}a=x_0 < x_1 < \cdots < x_{i-1} < x_i < \cdots < x_{n-1} < x_n=b\end{align}$

把 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间：

$\begin{align}[x_0,x_1],\ \cdots,[x_{i-1},x_{i}],\ \cdots,\ [x_{n-1},x_n]\end{align}$

各个小区间的长度依次为：

$\begin{align}\Delta x_1=x_1-x_0,\ \cdots,\ \Delta x_i=x_{i}-x_{i-1},\cdots,\ \Delta x_n=x_n-x_{n-1}\end{align}$

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 $\xi_i(x_{i-1}\le\xi_i\le x_i)$ ，作函数值 $f(\xi_i)$ 与小区间长度 $\Delta x_i$ 的乘积 $f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2,\cdots,n)$ ，并作出和：

$\begin{align}S=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i\end{align}$

记 $\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n\}$ ，如果当 $\lambda\to 0$ 时，这和的极限总存在，且与闭区间 $[a,b]$ 的分法及点 $\xi_i$ 的取法无关，那么称这个极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分（Definite integral）（简称积分），记作 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ ，即：

$\begin{align}\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x=I=\lim _{\lambda\to 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}\end{align}$

其中 $f(x)$ 叫做被积函数， $f(x) \mathrm{~d} x$ 叫做被积表达式， $x$ 叫做积分变量， $a$ 叫做积分下限， $b$ 叫做积分上限， $[a,b]$ 叫做积分区间。

如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分存在，那么就说 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积。

上述定义涉及到的符号较多，这里用下图来总结一下

除了符号外，该定义也格外复杂，可以说是本课程中最复杂的定义，下面来仔细解释下

黎曼和

如下图所示， $y=f(x)$ 为在 $[a,b]$ 上的有界函数。

在 $[a,b]$ 中任意插入若干个分点：

$\begin{align}a=x_0 < x_1 < \cdots < x_{i-1} < x_i < \cdots < x_{n-1} < x_n=b\end{align}$

这些分点把 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，每个小区间的长度为 $\Delta x_i$ ，如下图所示（为了展示方便，下图中的分点都是均匀插入的)。

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 $\xi_i(x_{i-1}\le\xi_i\le x_i)$ ，该点对应的函数值为 $f(\xi_i)$ ，如下图所示。

以各个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 作底， $f(\xi_i)$ 作高，可以得到 $n$ 个小矩形，如下图所示。容易知道每个小矩形的面积都是 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 。

值得注意的是，上述的小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 是可以任意划分的， $\xi_i$ 点也是在小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任意选取的，所以小矩形是可以不断变化的，如下图所示。

如果将这些可以变化的小矩形的面积加起来，得到的就是定义中提到的和 $S=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$ ，该和也称为黎曼和（Riemann sum)，以其发明者德国数学家黎曼命名。

黎曼和的极限就是定积分

如果恰当地（而不是任意地）在 $[a,b]$ 中插入更多的分点，那么就可以看到小矩形在不断增多，不断逼近以 $y=f(x)$ 为曲边的曲边梯形，如下图所示。上述操作用代数来表示就是，记 $\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n\}$ ，不断缩小 $\lambda$ 。